迄今為止，這個系列都在討論，如何給出"某個時段"的排名，比如"過去24小時最熱門的文章"。
但是，很多場合需要的是"所有時段"的排名，比如"最受用戶好評的產(chǎn)品"。
這時，時間因素就不需要考慮了。這個系列的最后兩篇，就研究不考慮時間因素的情況下，如何給出排名。
一種常見的錯誤算法是：
得分 = 贊成票 - 反對票
假定有兩個項目，項目A是60張贊成票，40張反對票，項目B是550張贊成票，450張反對票。請問，誰應(yīng)該排在前面?按照上面的公式，B會排在前面，因為它的得分(550 - 450 = 100)高于A(60 - 40 = 20)。但是實際上，B的好評率只有55%(550 / 1000)，而A為60%(60 / 100)，所以正確的結(jié)果應(yīng)該是A排在前面。
Urban Dictionary就是這種錯誤算法的實例。
另一種常見的錯誤算法是
得分 = 贊成票 / 總票數(shù)
如果"總票數(shù)"很大，這種算法其實是對的。問題出在如果"總票數(shù)"很少，這時就會出錯。假定A有2張贊成票、0張反對票，B有100張贊成票、1張反對票。這種算法會使得A排在B前面。這顯然錯誤。
Amazon就是這種錯誤算法的實例。
那么，正確的算法是什么呢?
我們先做如下設(shè)定：
(1)每個用戶的投票都是獨立事件。
(2)用戶只有兩個選擇，要么投贊成票，要么投反對票。
(3)如果投票總?cè)藬?shù)為n，其中贊成票為k，那么贊成票的比例p就等于k/n。
如果你熟悉統(tǒng)計學(xué)，可能已經(jīng)看出來了，這是一種統(tǒng)計分布，叫做"二項分布"(binomial distribution)。這很重要，下面馬上要用到。
我們的思路是，p越大，就代表這個項目的好評比例越高，越應(yīng)該排在前面。但是，p的可信性，取決于有多少人投票，如果樣本太小，p就不可信。好在我們已經(jīng)知道，p是"二項分布"中某個事件的發(fā)生概率，因此我們可以計算出p的置信區(qū)間。所謂"置信區(qū)間"，就是說，以某個概率而言，p會落在的那個區(qū)間。比如，某個產(chǎn)品的好評率是80%，但是這個值不一定可信。根據(jù)統(tǒng)計學(xué)，我們只能說，有95%的把握可以斷定，好評率在75%到85%之間，即置信區(qū)間是[75%, 85%]。
這樣一來，排名算法就比較清晰了：
第一步，計算每個項目的"好評率"(即贊成票的比例)。
第二步，計算每個"好評率"的置信區(qū)間(以95%的概率)。
第三步，根據(jù)置信區(qū)間的下限值，進(jìn)行排名。這個值越大，排名就越高。
這樣做的原理是，置信區(qū)間的寬窄與樣本的數(shù)量有關(guān)。比如，A有8張贊成票，2張反對票;B有80張贊成票，20張反對票。這兩個項目的贊成票比例都是80%，但是B的置信區(qū)間(假定[75%, 85%])會比A的置信區(qū)間(假定[70%, 90%])窄得多，因此B的置信區(qū)間的下限值(75%)會比A(70%)大，所以B應(yīng)該排在A前面。
置信區(qū)間的實質(zhì)，就是進(jìn)行可信度的修正，彌補(bǔ)樣本量過小的影響。如果樣本多，就說明比較可信，不需要很大的修正，所以置信區(qū)間會比較窄，下限值會比較大;如果樣本少，就說明不一定可信，必須進(jìn)行較大的修正，所以置信區(qū)間會比較寬，下限值會比較小。
二項分布的置信區(qū)間有多種計算公式，最常見的是"正態(tài)區(qū)間"(Normal approximation interval)，教科書里幾乎都是這種方法。但是，它只適用于樣本較多的情況(np > 5 且 n(1 − p) > 5)，對于小樣本，它的準(zhǔn)確性很差。
1927年，美國數(shù)學(xué)家 Edwin Bidwell Wilson提出了一個修正公式，被稱為"威爾遜區(qū)間"，很好地解決了小樣本的準(zhǔn)確性問題。
在上面的公式中，
表示樣本的"贊成票比例"，n表示樣本的大小，
表示對應(yīng)某個置信水平的z統(tǒng)計量，這是一個常數(shù)，可以通過查表或統(tǒng)計軟件包得到。一般情況下，在95%的置信水平下，z統(tǒng)計量的值為1.96。
威爾遜置信區(qū)間的均值為
它的下限值為
可以看到，當(dāng)n的值足夠大時，這個下限值會趨向
。如果n非常小(投票人很少)，這個下限值會大大小于
。實際上，起到了降低"贊成票比例"的作用，使得該項目的得分變小、排名下降。
Reddit的評論排名，目前就使用這個算法。
[參考文獻(xiàn)]
* How Not To Sort By Average Rating
(完)
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